Основные направления исследований

Цель проекта -- динамическое описание основопологающих явлений квантовой и статистической физики: долговременные асимптотики и сходимость к квантовым стационарным состояниям и термодинамическому равновесию, корпускулярно-волновой дуализм, теплопроводность и электропроводность твердого тела, термоэлектронная эмиссия, квантовая теория рассеяния и перенормировки, формирование наноструктур и т.д. Математические методы исследований основаны на комплексном, гармоническом и функциональном анализе, спектральной теории и теории рассеяния для дифференциальных уравнений в частных производным. Физическая основа представлена методами квантовой механики и квантовой электродинамики: диаграммы Фейнмана, функциональное интегрирование, перенормировки. Пересечение нескольких дисциплин позволяет вовлекать ведущих специалистов из соседних областей, которые представляют основной костяк группы. Сотрудничество началось во время работы научно-исследовательской группы А.И. Комеча на факультете математики Венского Университета в 2002-2005 и продолжается в ИППИ РАН (начиная с 2005 года), научно-исследовательской группы на Международной исследовательской станции в Банффе (Май 2007), и минигруппы в Обервольфахе (Февраль 2008).

Корпускулярно-волновой дуализм

Первая элементарная частица (электрон) была открыта в 1897 Дж.Дж. Томпсоном при наблюдении катодных лучей. С другой стороны, последовавшие теоретические исследования Л. де Бройля (1923), Э. Шредингера (1926) и экспериментальные наблюдения Дависсона и Джермера (1927) раскрывали волновые свойства катодных лучей. Корпускулярно-волновой дуализм был экспериментально подтвержден недавними исследованиями (A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, American J.Phys. 57 (1989), Issue 2, 117-120), тем не менее полное понимание катодных лучей отсутствует до сих пор.

Солитонные асимптотики

Возможное динамическое толкование корпускулярно-волнового дуализма как сходимость к солитонным решениям (солитонные асимптотики) было предложено А.И. Комечем в [39]. Соответствующие математические результаты были опубликованы в [1,2,3,4,5,8,10,11,12,19,20,21,24,25,26,29,34,35,36,37,41]. Тем не менее, солитонные асимптотики всё ещё не доказаны для систем Максвелла-Шредингера и Максвелла-Дирака.

Электронные пучки

Нас интересует описание (в терминах квантовой физики) процессов в клистроне, синхротроне и электронном микроскопе.

Физика твердого тела

Задачи термодинамики: теория излучения твердого тела, проводимость.

Наноструктуры

Книги и лекционные материалы

B1. A. Komech, Lectures on Elliptic Partial Differential Equations (Method of Pseudodifferential Operators), undergraduate course given at Vienna University during October-December 2006.

B2. A. Komech, On Global Attractors of Hamilton Nonlinear Wave Equations, Lecture Notes of the Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, LN 24/2005, Leipzig, 2005. http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-2405-abstr.html

B3. A. Komech, Lectures on Quantum Mechanics (nonlinear PDE point of view), Lecture Notes of the Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, LN 25/2005, Leipzig, 2005. http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-2505-abstr.html

B4. A.I. Komech, A.A. Komech, Book of Practical PDEs, 2006.

B5. A. Komech, Practical Solution of Equations of Mathematical Physics, 2006 (revised edition) [Russian].

Статьи

  1. A.I. Komech, A.A. Komech, On global attraction to solitary waves. Review of results for models based on the Klein-Gordon equation, preprint arXiv:math/0711.0041
  2. A.I. Komech, A.A. Komech, On global attraction to solitary waves for the Klein-Gordon field coupled to several nonlinear oscillators, submitted to Acta Mathematica, 2007.arXiv:math/0702660
  3. A.I. Komech, A.A. Komech, On global attraction to solitary waves with mean field interaction Klein-Gordon equation, accepted in Annales l'IHP ANL, 2008. arXiv:math/0708.1131
  4. V. Buslaev, A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitary waves in nonlinear Schrödinger equation, Comm. Partial Diff. Eqns 33 (2008), no. 4, 669-705. arXiv:math-ph/0702013
  5. A. Komech, E. Kopylova, B. Vainberg, On dispersive properties of discrete 2D Schr\"odinger and Klein-Gordon equations , J. Funct. Anal. 254 (2008), no. 8, 2227-2254.
  6. A.I. Komech, A.A. Komech, Global well-posedness for the Schrodinger equation coupled to a nonlinear oscillator, Russ. J. Math. Phys. 14 (2007), no. 2, 164-173. math.AP/0608780
  7. A.I. Komech, A.E. Merzon, Relation between Cauchy data in the scattering by wedge , Russ. J. Math. Phys. 14 (2007), no. 3, 279-303.
  8. A.I. Komech, A.A. Komech, Global attractor for a nonlinear oscillator coupled to the Klein-Gordon field, Arch. Rat. Mech. Anal.185 (2007), 105-142. arXiv:math.AP/0609013
  9. A. Komech, E. Kopylova, M. Kunze, Dispersive estimates for 1D discrete Schrödinger and Klein-Gordon equations, Applicable Analysis 85 (2006), no. 12, 1487-1508.
  10. A.I. Komech, A.A. Komech, On global attraction to solitary waves for the Klein-Gordon equation coupled to nonlinear oscillator, C. R., Math., Acad. Sci. Paris 343 (2006), no. 2, 111-114.
  11. V.Imaikin, A. Komech, B. Vainberg, On scattering of solitons for the Klein-Gordon equation coupled to a particle, Comm. Math. Phys. 268 (2006), no. 2, 321-367. arXiv:math.AP/0609205
  12. A. Komech, E.A. Kopylova, Scattering of solitons for Schrödinger equation coupled to a particle, Russian J. Math. Phys. 50 (2006), no. 2, 158-187. arXiv:math.AP/0609649
  13. M. Freidlin, A. Komech, On metastable regimes in stochastic Lamb system, Journal of Mathematical Physics 47 (2006), 043301-1 -- 043301-12.
  14. A. Komech, A.E.Merzon, Limiting amplitude principle in the diffraction by wedges, Mathematical Methods in Applied Sciences 29 (2006), 1147-1185.
  15. T. Dudnikova, A. Komech, Two-temperature problem for the Klein-Gordon equation, J. Theory Probability and Appl. 50 (2005), no. 4, 675-710. [Russian]. English translation: On two-temperature problem for the Klein-Gordon equation, Theory Prob. Appl. 50 (2006), no. 4, 582-611.))
  16. A. Komech, E.Kopylova, N.Mauser, On convergence to equilibrium distribution for Schrödinger equation, Markov Processes and Related Fields 11 (2005), no. 1, 81-110.
  17. T. Dudnikova, A. Komech, On the convergence to a statistical equilibrium in the crystal coupled to a scalar field, Russ. J. Math. Phys. 12 (2005), no. 3, 301-325.
  18. A. Komech, N.J. Mauser, A.E. Merzon, On Sommerfeld representation and uniqueness in diffraction by wedges, Mathematical Methods in Applied Sciences 28 (2005), no. 2, 147-183.
  19. A. Komech, N.J. Mauser, A. Vinnichenko, On attraction to solitons in relativistic nonlinear wave equations, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004), no. 3, 289-307.
  20. V.Imaikin, A. Komech, N.J. Mauser, Soliton-type asymptotics for the coupled Maxwell-Lorentz equations, Ann. Inst. Poincaré, Phys. Theor. 5 (2004), 1117-1135.
  21. V.Imaikin, A. Komech, H.Spohn, Rotating charge coupled to the Maxwell field: scattering theory and adiabatic limit, Monatshefte fuer Mathematik 142 (2004), no. 1-2, 143-156.
  22. T.Dudnikova, A. Komech, N.Mauser, On two-temperature problem for harmonic crystals, Journal of Statistical Physics 114 (2004), no. 3/4, 1035-1083.
  23. A. Komech, E.Kopylova, N.Mauser, On convergence to equilibrium distribution for wave equation in even dimensions, Ergodic Theory and Dynamical Systems 24 (2004), 1-30.
  24. A. Komech, On attractor of a singular nonlinear U(1)-invariant Klein-Gordon equation , p. 599-611 in: Proceedings of the 3rd ISAAC Congress, Freie Universitat Berlin, Berlin, 2003.
  25. V.Imaikin, A. Komech, H.Spohn, Scattering theory for a particle coupled to a scalar field, Journal of Discrete and Continuous Dynamical Systems 10 (2003), no. 1&2, 387-396.
  26. V.Imaikin, A. Komech, P.Markowich, Scattering of solitons of the Klein-Gordon equation coupled to a classical particle, Journal of Mathematical Physics 44 (2003), no. 3, 1202-1217.
  27. T.Dudnikova, A. Komech, H.Spohn, On convergence to statistical equilibrium for harmonic crystals, Journal of Mathematical Physics 44 (2003), no. 6, 2596-2620.
  28. T.Dudnikova, A. Komech, N.Mauser, On the convergence to a statistical equilibrium for the Dirac equation, Russian Journal of Math. Phys. 10 (2003), no. 4, 399-410.
  29. A. Bensoussan, C. Iliine, A. Komech, Breathers for a relativistic nonlinear wave equation, Arch. Rat. Mech. Anal. 165 (2002), 317-345.
  30. T.V. Dudnikova, A.I. Komech, E.A. Kopylova, Yu.M. Suhov, On convergence to equilibrium distribution, I. Klein-Gordon equation with mixing, Comm. Math. Phys. 225 (2002), no. 1, 1-32.
  31. T.V. Dudnikova, A.I. Komech, N.E. Ratanov, Yu.M. Suhov, On convergence to equilibrium distribution, II. Wave equation with mixing, Journal of Statistical Physics 108 (2002), no. 4, 1219-1253.
  32. T. Dudnikova, A. Komech, H. Spohn, On a two-temperature problem for wave equation with mixing, Markov Processes and Related Fields 8 (2002), no. 1, 43-80.
  33. A.Merzon, A. Komech, P.Zhevandrov, A method of complex characteristics for elliptic problems in angles and its applications, Translations. Series 2. American Mathematical Society. 206, American Mathematical Society (AMS), Providence, RI, 2002.
  34. T. Dudnikova, A. Komech, H. Spohn, Energy-momentum relation for solitary waves of relativistic wave equation, Russian Journal Math. Phys. 9 (2002), no. 2, 153-160.
  35. V.Imaikin, A. Komech, H.Spohn, Soliton-like asymptotics and scattering for a particle coupled to Maxwell field, Russian Journal of Mathematical Physics 9 (2002), no. 4, 428-436.
  36. A. Komech, On transitions to stationary states in one-dimensional nonlinear wave equations, Arch. Rat. Mech. Anal. 149 (1999), no. 3, 213-228.
  37. A. Komech, M. Kunze, H. Spohn, Effective Dynamics for a mechanical particle coupled to a wave field, Comm. Math. Phys. 203 (1999), 1-19.
  38. A. Komech, P. Joly, O. Vacus, On transitions to stationary states in a Maxwell-Landau- Lifschitz-Gilbert system, SIAM J. Math. Anal. 31 (1999), no. 2, 346-374.
  39. A. Komech, On transitions to stationary states in Hamiltonian nonlinear wave equations, Phys. Letters A 241 (1998), 311-322.
  40. A. Komech, H. Spohn, Soliton-like asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field, Nonlinear Analysis 33 (1998), no. 1, 13-24.
  41. A. Komech, On stabilization of string-nonlinear oscillator interaction, J. Math. Anal. Appl. 196 (1995), 384-409.